数学教学管理政策以及数学应用方式等等方面都是当前数学教学工作者十分在意的方面，同时数学教学的改革和管理模式也是大家都要了解的方面。
摘要：课堂上的数学实验,有的探究过程简明扼要,有的则要绕很大的“弯子”,但都是源于学生认知需求的即时生成,都绽放着个性的光芒,凸显着个体探求未知领域的激情.
关键词：数学教学,数学应用,数学论文
一、数学实验的两个案例
【案例1】这个图形稳定吗?
教学人教版初中数学七年级下册《三角形的稳定性》一课,在对学生已经获得的“三角形的稳定性”和“四边形的不稳定性”的知识的应用环节,笔者设计了这样的数学活动:
如图1,在六边形ABCDEF的木框中,至少添加几根木条,才能使整个木框保持稳定?
推荐期刊：《数学教学通讯》杂志是由西南大学主管,西南大学数学与统计学院与重庆数学学会主办的中学数学教学研究类期刊,创刊于1979年。近30年坚持为中学数学教学服务的办刊宗旨;坚持与时俱进,始终站在数学教育研究的前沿;坚持贴近教学实际,贴近读者要求,为读者提供实用、优质的教学研究平台与资源。
学生经过自主探究,画出了4种添加方法,如图2~图5所示.
观察发现,这4种方法可以分为两类:图2~图4为一类,都是添加了3根木条,将原有的六边形ABCDEF分解成了四个三角形,根据“三角形的稳定性”,此时,木框是能够保持稳定的;图5则是另一类,只添加了两根木条,没有形成固定的三角形,所得的图形显然是不稳定的.
正准备对图5中的方法加以纠正,突然,一位学生站了起来,说道:“如果我在两根木条AD与BE的交点O处钉上一个钉子,整个图形不就稳定了?”此话一出,全班争论声顿起,有学生赞同他的说法,也有学生认为图形仍然是不稳定的.
该生的突发奇想已经偏离了预设的教学活动.因为,根据活动要求,是不可以加“钉子”的.但是学生的争论不休源于没有与之关联的生活经验,经验的缺失导致了争议——是“稳定”还是“不稳定”,仅凭言语是无法让人信服的.
稍加思考,我做出决定,用数学实验来给出有力的回答:
将小组中的原有学具拆开,钉出一个如图1所示的六边形木框ABCDEF,并用两根木条分别固定A、D两点和B、E两点.设AD与BE的交点为O,请在O点处不钉钉子和钉上钉子这两种情况下,分别拉动六边形,看其形状是否会发生变化,并试着去说明稳定与不稳定的理由.
10分钟后,学生经过探究、交流,归纳得出如下结论:
(1)在O点处不钉钉子时,整个图形能够拉动,图形不稳定;在O点处钉上钉子后,整个六边形木框ABCDEF无法拉动,也就是说图形是稳定的.
(2)当O点处不钉钉子时,拉动六边形的过程中,AD与BE的交点O在AD和BE上移动,随着O点的移动,图5中的四边形,如AOEF、BODC,它们的形状都在发生变化,整个图形自然就不稳定了;而如果在O点处钉上钉子,图5中的AO、BO、EO、DO的长度和∠AOE、∠BOD的度数等都已经固定,虽然图5的AE、BD没有连起来,但实际上其长度也已经固定,这样一来,原六边形被分成了多个三角形(根据全等三角形的判定方法,图中形成的三角形都是唯一的),如△AOB,△DOE,△AOE,△AEF,△BOD,△BCD等,这些三角形的存在使得整个图形必然是稳定的.
在这个数学实验的过程中,学生将六边形ABCDEF引发的问题化归为三角形问题,进一步巩固了本课所学的新知“三角形具有稳定性”;同时,更加深了对数学思想方法的领悟,如“钉钉子”与“不钉钉子”体现的是分类讨论的思想,将六边形转化为三角形体现的是化归的思想,而最终通过三角形来说理则是模型思想.值得一提的是,实验过程中,学生在“行”和“不行”之间反复探究,在“是”与“非”之间充分辨析,积累下了无形财富——数学活动经验.
【案例2】这样能证明“三角形的内角和定理”吗?
人教版初中数学七年级下册《三角形的内角》一课,在探究“三角形的内角和等于180°”这一定理时,教材设计了如下的数学实验:
在纸上画一个三角形,将它的内角剪下来拼合在一起,就得出了一个平角.从这个操作过程中,你能发现证明的思路吗?
课堂上,学生通过实验探究,给出了4种拼图(如图6~图9).通过图中的辅助线l,学生很快就得出了证明“三角形的内角和等于180°”的方法.
我追问:“还有其他得出辅助线的方法吗?提出你的猜想.”
学生围绕辅助线的情况,提出了两个问题:(1)如果只撕下一个角,还能得到直线l吗?(2)如果不撕角,是否可以将∠A翻折下来,使A点正好落在BC上的A'处,而且翻折后得到的∠A'的两边正好分别与原三角形的AC,AB边平行?
围绕这两个猜想,我安排了如下的数学实验:(1)撕下三角形纸片的一个角,将其与三角形的另一内角拼合到一起,探究证明“三角形内角和等于180°”的思路.(2)将∠A翻折下来,使A点正好落在BC上的A'处,翻折后∠A'的两边能否正好分别与AC,AB边平行?如果能,请探究出证明“三角形内角和等于180°”的思路.
接下来,学生实验探究.在各学习小组组长的组织下,通过拼合、折叠等方法,得出了如下实验结果:
如图10,通过只剪下一个角构造出平行于AB的直线l,然后根据“两直线平行,同旁内角互补”,便可证出“三角形的内角和为180°”.如图11,在BC边上找到了一个符合猜想(2)的点A'——形成的四边形ADA'E为菱形,其中A'D//AC,A'E//AB,所以∠B=∠CA'E,∠C=∠BA'D,所以∠A+∠B+∠C=∠DA'E+∠CA'E+∠BA'D=180°.
弗赖登塔尔说:“数学知识既不是教出来的,也不是学出来的,而是研究出来的.”作为获取数学认知的一种重要手段,数学实验也是学生获取新知的重要途径,它能帮助学生发现结论,并找出“严格”证明结论的途径.这则数学实验就是很好的例子.在两轮“剪角拼图”的数学实验中,学生按照“剪下的角的个数”,分两种情况进行了探究,发现了多种拼图方法,并从中抽象出用于证明定理的辅助直线L这样的实验过程,为“三角形的内角和定理”的证明铺平了道路.
二、关于数学实验的思考
(一)数学实验是重要的数学学习方式
数学实验,源于学生数学学习的需要.无论是新知探究还是旧知回顾,抑或是知识的综合应用,学生通过动手操作、合理猜想,拓宽了学习道路,发展了几何直观和推理能力,感受到数学的魅力和价值.
本文中的两个案例仅是数学实验中的“沧海一粟”,但就是这样的“一粟”,也足以吸引学生的眼球.学生通过反复实验探究,在不断试误后,最终得出了正确的结论.学生通过实验、理性辨析提出的设想——否定错误的猜想,并为正确的结论找寻出严格论证的路径.这种具体的、可视的数学实验,为学生提供了切实可行的数学学习方式,让他们突破了“埋头死读书”的数学学习困境.
(二)数学实验需要充足的时间做保证
在充满着教学期待的数学实验中,多一分钟的等待,就可能会多出一份别样的精彩.数学实验一般都要经历“提出设想—实验探究—观察思考—推理说明”的过程,在这个过程中,充足的实验时间将会让学生的探究和生成更加充分、到位,有助于结论的形成和接下来的推理说明.在两个案例中,笔者都留给了学生10分钟的实验探究时间.在这10分钟的时间里,有些学生经过了多次反反复复的实验探究,得出了自认为准确的结论,而在与同伴交流后却又发现自己的失误,于是实验不得不重来一次.“重来一次”,这就又需要时间.只有有了充足的时间,学生才可以有效地调控实验进程,正确地调整影响实验成果的数学因素,减少实验中非数学因素的干扰,避免无谓的实验失误,确保实验成果准确有效、合乎规律.由此,数学实验顺利展开,在旧知识的“提取”和新知识的巩固中,学生思维的深度和广度都得到了拓展.
(三)教师要参与实验并提供必要的帮助
作为课堂教学的“组织者、引导者、合作者”,教师应参与到数学实验中去,指导实验方法,协助学生发现实验生成.尤其在学生实验遇到困难时,教师应及时指点迷津,让学生脱离“困境”.这种处于实验关键时点的“帮助”,不是为了“锦上添花”,只求实现“雪中送炭”,促成实验的高效推进和成果的及时生成.
(四)数学实验成果要及时“数学化”
这里的“数学化”,是指将“实际问题转化为数学问题”.弗赖登塔尔认为,“在‘一浪接一浪’的数学化进程中,学习者经历了一个又一个由现实的情景问题到数学问题,由不那么严格的数学体验到严格的数学系统的学习过程”.数学实验无论实验成功与否,其生成都是丰富的,都一定会产生众多的实验“成果”.这些实验“成果”紧贴学生的认知基础,非常接“地气”.教师应及时带领学生梳理实验中形成的成果,并使之“数学化”,赋予数学的图形语言、符号语言和数学化的结论,以引导学生学会“数学地”发现问题、分析问题和解决问题.数学实验成果的“数学化”,一方面体现了数学知识的应用价值,让学生进一步感悟“数学是有用的”,形成数学建模的意识和思维惯性;另一方面,将数学知识和生活情境紧密联系了起来,让学生“学会数学地认识和解决问题”,促进认知网络的建构与完善.
